Question

A，B，C是平面內(nèi)不共線(xiàn)的三點(diǎn)，點(diǎn)P在該平面內(nèi)且有

PA

+2

PB

+3

PC

=

0

，現(xiàn)將一粒芝麻隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則這粒芝麻落在△PBC內(nèi)的概率為（　�。�

• A、

  1

  3

• B、

  1

  4

• C、

  1

  5

• D、

  1

  6

Answer 1

考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義,幾何概型

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：先將已知向量式化為兩個(gè)向量共線(xiàn)的形式，再利用平行四邊形法則及向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，三角形面積公式確定面積之比，進(jìn)而利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解解答：：∵

PA

+2

PB

+3

PC

=

0

，
∴

PA

+

PC

+2（

PB

+

PC

）=

0

，
即

PA

+

PC

=-2（

PB

+

PC

），
分別取AC，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)，G，
∵

PA

+

PC

=

PD

=2

PF

，

PB

+

PC

═

PE

=2

PG

，
∴

PF

=2

PG

，
∴F、P、G三點(diǎn)共線(xiàn)，且PF=2PG，GF為三角形ABC的中位線(xiàn)，
∴

S△APC

S△BPC

=

1 2 ×PC×h1

1 2 ×PC×h2

=

h1

h2

=

PF

PG

=2，（h₁，h₂是相應(yīng)三角形的高），
而S_△APB=

1

2

S_△ABC，
∴△APB，△APC，△BPC的面積之比等于3：2：1，
∴S_△BPC：S_△ABC=1：6，
∴由幾何概型的概率公式可得將一粒芝麻隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則這粒芝麻落在△PBC內(nèi)的概率為

1

6

，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是繪制滿(mǎn)足條件的圖形，數(shù)形結(jié)合找出滿(mǎn)足條件的△PBC的面積大小與△ABC面積的大小之間的關(guān)系，再根據(jù)幾何概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解．綜合性較強(qiáng)，難度較大．