Question

20．已知f（x）=t²+2+2tx（t≠0）．則$\frac{f（cosθ）}{f（sinθ）}$的范圍[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 首先，結(jié)合三角函數(shù)的值域，得到cosθ∈[-1，1]，sinθ∈[-1，1]，然后，得到∴$\frac{f（cosθ）}{f（sinθ）}$的最大值為$\frac{{t}^{2}+2+2|t|}{{t}^{2}+2}$，$\frac{f（cosθ）}{f（sinθ）}$的最小值為：$\frac{{t}^{2}+2}{{t}^{2}+2+2|t|}$，然后，結(jié)合基本不等式確定其范圍即可．

解答 解：∵cosθ∈[-1，1]，sinθ∈[-1，1]，
當(dāng)sinθ=0時，cosθ=±1，
∴$\frac{f（cosθ）}{f（sinθ）}$的最大值為：$\frac{{t}^{2}+2+2|t|}{{t}^{2}+2}$，
∴$\frac{f（cosθ）}{f（sinθ）}$的最小值為：$\frac{{t}^{2}+2}{{t}^{2}+2+2|t|}$，
∵$\frac{{t}^{2}+2+2|t|}{{t}^{2}+2}$=1+$\frac{2|t|}{{t}^{2}+2}$，
=1+$\frac{2}{|t|+\frac{2}{|t|}}$≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{{t}^{2}+2}{{t}^{2}+2+2|t|}$
=1-$\frac{2|t|}{{t}^{2}+2+2|t|}=1-\frac{2}{|t|+\frac{2}{|t|}+2}$≥1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴取值范圍為：[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的值域、基本不等式等知識，屬于中檔題．