Question

13．已知函數(shù)f（x）=2sin（x+$\frac{π}{2}$）•sin（x+$\frac{7π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sin（π+x）cos（x+3π）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及對稱軸方程；
（2）若B為△ABC的內(nèi)角，且滿足f（$\frac{B}{2}$）=$\sqrt{3}$，求∠B．

Answer 1

分析 化簡得出函數(shù)關(guān)系式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（1）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x$+\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，求解即可得出單調(diào)區(qū)間．
利用2x$+\frac{π}{3}$=$kπ+\frac{π}{2}$，k∈z，可求對稱軸
（2）代入函數(shù)關(guān)系式得出2sin（B+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，0＜B＜π，求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2sin（x+$\frac{π}{2}$）•sin（x+$\frac{7π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sin（π+x）cos（x+3π）．
∴f（x）=2cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
（1）∵$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x$+\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
即$-\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤kπ$+\frac{π}{12}$，k∈z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$-\frac{5π}{12}$+kπ，kπ$+\frac{π}{12}$]，k∈z，
∵2x$+\frac{π}{3}$=$kπ+\frac{π}{2}$，k∈z，
∴x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈z．
∴對稱軸方程為：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈z．
（2）∵B為△ABC的內(nèi)角，且滿足f（$\frac{B}{2}$）=$\sqrt{3}$，
∴2sin（B+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，0＜B＜π
即∠B=$\frac{π}{3}$．

點評 本題考察了三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，化簡運算，解三角形，屬于三角部分的綜合題目，屬于中檔題．