Question

若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足等式a_n+2S_n=3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）能否在數(shù)列{a_n}中找到這樣的三項(xiàng)，它們按原來的順序構(gòu)成等差數(shù)列？說明理由；
（3）令b_n=log 

1

3

a_n+

1

2

，記函數(shù)f（x）=b_nx²+2b_n+1x+b_n+2（n∈N^*）的圖象在x軸上截得的線段長為c_n，設(shè)T_n=

1

4

（c₁c₂+c₂c₃+…+c_n-1c_n）（n≥2），求T_n，并證明：T₂T₃T₄…T_n＞

2n-1

n

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a₁=1.an+1=

1

3

an，由此能求出a_n．
（2）假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為a_p，a_q，a_r，（p＜q＜r），則能推導(dǎo)出3^r-p（2-3^q-p）=1，又因?yàn)?^r-q＞3，2-3^q-p＜0，所以3^r-p（2-3^q-p）＜0，所以不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列．
（3）設(shè)f（x）與x軸交點(diǎn)為（x₁，0），（x₂，0），c_n=|x₁-x₂|=

2

|bn|

，從而得到c_n-1c_n=4（

1

bn-1

-

1

bn

），由此利用裂項(xiàng)求和法得到Tn=

2(n-1)

n- 1 2

＞

2(n-1)

n

，從而能夠證明T₂T₃T₄…T_n＞

2n-1

n

．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足等式a_n+2S_n=3，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁+2a₁=3，解得a₁=1．
又a_n+2S_n=3，∴a_n+1+2S_n+1=3，兩式相減得an+1=

1

3

an，
即{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為

1

3

的等比數(shù)列，
∴a_n=

1

3n-1

．…（4分）
（2）解：假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為a_p，a_q，a_r，（p＜q＜r），
則

2

3q-1

=

1

3p-1

+

1

3r-1

，即

2

3q

=

1

3p

+

1

3r

，
∴2•3^r-q=3^r-p+1，即2•3^r-p-3^r-q=1，即3^r-p（2-3^q-p）=1，
又∵p＜q＜r，∴r-q，r-p∈N^*，∴3^r-q＞3，2-3^q-p＜0，
∴3^r-p（2-3^q-p）＜0，
∴假設(shè)不成立，所以不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列…（9分）
（3）證明：設(shè)f（x）與x軸交點(diǎn)為（x₁，0），（x₂，0），
∵2b_n+1=b_n+b_n+2，
∵當(dāng)f（x）=0時(shí)有（x+1）（b_nx+b_n+2）=0，
∴x1=-1，x2=-

bn+2

bn

=-

bn+2

bn

，
∴c_n=|x₁-x₂|=|-1+

bn+2

bn

|=

2

|bn|

，
又∵bn=log

1

5

an+

1

2

=n-

1

2

＞0，∴cn=

2

bn

，
∴c_n-1c_n=

2

bn-1

×

2

bn

=4（

1

bn-1

-

1

bn

），
∴T_n=

1

4

×4[(

1

b1

-

1

b2

)+(

1

b2

-

1

b3

)+…+(

1

bn-1

-

1

bn

)]
=

1

b1

-

1

bn

=

1

1 2

-

1

n- 1 2

=

2(n-1)

n- 1 2

．…（14分）
∴Tn=

2(n-1)

n- 1 2

＞

2(n-1)

n

，
∴T₂T₃T₄…T_n＞

2

2

×

2•2

3

×

2•3

4

×

2•4

5

×…×

2(n-1)

n

=

2n-1

n

．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列是否存在的判斷，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法和放縮法的合理運(yùn)用．