已知
m
=(2cosx+2
3
sinx,1),
n
=(cosx,-y),且滿足
m
n
=0.
(Ⅰ)將y表示為x的函數(shù)f(x),并寫出f(x)的對稱軸及對稱中心;
(Ⅱ)已知a,b,c分別為△ABC的三個內(nèi)角A、B、C對應的邊長,若f(x)≤f(
A
2
)對所有x∈R恒成立,且a=4,求b+c的取值范圍.
考點:三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的對稱性
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形
分析:(1)由平面向量數(shù)量積的坐標運算公式及三角恒等變換公式,化簡函數(shù)f(x),根據(jù)函數(shù)y=sinx的對稱軸和對稱中心,整體代換求出f(x)的對稱軸方程和對稱中心;
(2)由f(x)≤f(
A
2
)對所有x∈R恒成立得到f(
A
2
)最大且為3,從而求出A,再運用正弦定理求出b,c,運用三角恒等變換公式化簡b+c為關于B的三角函數(shù),由B的范圍,求出范圍即可.
解答: 解:(1)∵
m
n
=(2cosx+2
3
sinx)cosx-y=0,
∴y=2cos2x+2
3
sinxcosx=cos2x+
3
sin2x+1
=2sin(2x+
π
6
)+1,
令2x+
π
6
=kπ+
π
2
,得f(x)的對稱軸為x=
2
+
π
6
(k∈Z),
令2x+
π
6
=kπ,得x=
2
-
π
12

∴f(x)的對稱中心為(
2
-
π
12
,1)(k∈Z);
(2)∵f(x)≤f(
A
2
)對所有x∈R恒成立,
∴f(
A
2
)=3,且A+
π
6
=2kπ+
π
2
,k∈Z,
∵A為三角形的內(nèi)角,∴0<A<π,
∴A=
π
3
,B+C=
3
,
∵a=4,由正弦定理得
4
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=
8
3
3
,
∴b+c=
8
3
3
(sinB+sinC)=
8
3
3
[sinB+sin(
3
-B)]
=4
3
sinB+4cosB=8(
3
2
sinB+
1
2
cosB)
=8sin(B+
π
6
),
∵B∈(0,
3
),∴sin(B+
π
6
)∈(
1
2
,1],
∴b+c∈(4,8].
∴b+c的取值范圍是(4,8].
點評:本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運用,解三角形中的正弦定理的運用,考查平面向量的數(shù)量積的坐標運算,考查三角函數(shù)的性質(zhì),以及化簡求范圍的運算能力,這是解好題的基本能力,應掌握.
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已知a>0,b>0,若不等式mab≤(3a+b)(b+3a)恒成立,則m的最大值等于( 。
A、12B、9C、6D、3

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設z=
1+i
1-i
+(1-i)2,則(1+x)4(1+zx)3展開式中x5項的系數(shù)是(  )
A、-2-3i
B、-12+3i
C、1+21i
D、-35i

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(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值.

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若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足等式an+2Sn=3.
(1)求數(shù)列{an}的通項an
(2)能否在數(shù)列{an}中找到這樣的三項,它們按原來的順序構成等差數(shù)列?說明理由;
(3)令bn=log 
1
3
an+
1
2
,記函數(shù)f(x)=bnx2+2bn+1x+bn+2(n∈N*)的圖象在x軸上截得的線段長為cn,設Tn=
1
4
(c1c2+c2c3+…+cn-1cn)(n≥2),求Tn,并證明:T2T3T4…Tn
2n-1
n

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已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)對任意的x,y>0,均有f(xy)=f(x)•f(y),且當x>1時,f(x)<1,f(3)=
1
9

(1)求證f(x)>0;
(2)求證f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
(3)若f(m)=9,求m的值.

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某學校從高三全體500名學生中抽50名學生做學習狀況問卷調(diào)查,現(xiàn)將500名學生從l到500進行編號,求得間隔數(shù)k=
500
50
=10,即每10人抽取一個人,在1~10中隨機抽取一個數(shù),如果抽到的是6,則從125~140的數(shù)中應取的數(shù)是
 

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設f(x)=|x-a|,a∈R.
(Ⅰ)當-1≤x≤3時,f(x)≤3,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若對任意的x∈R,f(x-a)+f(x+a)≥1-2a恒成立,求實數(shù)a的最小值.

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