Question

已知

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），且滿足

m

•

n

=0．
（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)f（x），并寫出f（x）的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心；
（Ⅱ）已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，若f（x）≤f（

A

2

）對(duì)所有x∈R恒成立，且a=4，求b+c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦函數(shù)的對(duì)稱性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式及三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)函數(shù)y=sinx的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，整體代換求出f（x）的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心；
（2）由f（x）≤f（

A

2

）對(duì)所有x∈R恒成立得到f（

A

2

）最大且為3，從而求出A，再運(yùn)用正弦定理求出b，c，運(yùn)用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)b+c為關(guān)于B的三角函數(shù)，由B的范圍，求出范圍即可．

解答： 解：（1）∵

m

•

n

=（2cosx+2

3

sinx）cosx-y=0，
∴y=2cos²x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，得f（x）的對(duì)稱軸為x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
令2x+

π

6

=kπ，得x=

kπ

2

-

π

12

，
∴f（x）的對(duì)稱中心為（

kπ

2

-

π

12

，1）（k∈Z）；
（2）∵f（x）≤f（

A

2

）對(duì)所有x∈R恒成立，
∴f（

A

2

）=3，且A+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∵A為三角形的內(nèi)角，∴0＜A＜π，
∴A=

π

3

，B+C=

2π

3

，
∵a=4，由正弦定理得

4

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

8 3

3

，
∴b+c=

8 3

3

（sinB+sinC）=

8 3

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]
=4

3

sinB+4cosB=8（

3

2

sinB+

1

2

cosB）
=8sin（B+

π

6

），
∵B∈（0，

2π

3

），∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
∴b+c∈（4，8]．
∴b+c的取值范圍是（4，8]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運(yùn)用，解三角形中的正弦定理的運(yùn)用，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，以及化簡(jiǎn)求范圍的運(yùn)算能力，這是解好題的基本能力，應(yīng)掌握．