【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明四邊形為平行四邊形，即可證明平面.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，取平面的一個法向量為，結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可得解.

證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接、.

∵是的中點(diǎn)，∴，，

又，，所以，，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

又平面，平面，

∴平面.

（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線，由題意知，，兩兩垂直，以

為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，由題意知，，，

可得，，，∴，，

設(shè)平面的法向量為，

則由，即，令，則，，

∴為平面的一個法向量.

∵底面，∴可取平面的一個法向量為，

∴，

∵二面角為銳二面角，

∴二面角的大小為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知．

（Ⅰ）當(dāng)時，判斷在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若在上的最小值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)（異于長軸端點(diǎn)），是直線上的動點(diǎn)．

（1）若直線平分線段，求證：．

（2）若直線的斜率，直線、、的斜率成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量（）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值．

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1.469

108.8

表中，

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？給出判斷即可，不必說明理由

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關(guān)系為根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：

①年宣傳費(fèi)時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？

②年宣傳費(fèi)x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】英國“脫歐”這件國際大事引起了社公各界廣泛關(guān)注，根據(jù)最新情況，英國大選之后，預(yù)計將會在2020日年1月31日完成“脫歐”，但是因?yàn)橹?/span>“脫歐”一直被延時，所以很多人認(rèn)為并不能如期完成，某媒體隨機(jī)在人群中抽取了100人做調(diào)查，其中40歲以下的人群認(rèn)為能完成的占，而40歲以上的有10人認(rèn)為不能完成

（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為“預(yù)測國際大事的準(zhǔn)確率與年齡有關(guān)”？

能完成

不能完成

合計

40歲以上

55

40歲以下

合計

（2）現(xiàn)按照分層抽樣抽取20人，在這20人的樣本中，再選取40歲以下的4人做深度調(diào)查，至少有2人認(rèn)為英國能夠完成“脫歐”的概率為多少？

附表：

（）

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核．記表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定為考核優(yōu)秀．為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：

（Ⅰ）從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；

（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；

（Ⅲ）記表示學(xué)生的考核成績在區(qū)間的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)時培訓(xùn)有效．請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動是否有效，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，（），

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)時的圖象總在函數(shù)的圖象的下方，求正實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的離心率為，與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)Q（，1）．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若P（m，n）為橢圓C外一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓C的兩條互相垂直的切線l1、l2，求動點(diǎn)P的軌跡方程，并求△ABP面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司為加強(qiáng)對銷售員的考核與管理，從銷售部門隨機(jī)抽取了2019年度某一銷售小組的月均銷售額，該小組各組員2019年度的月均銷售額（單位：萬元）分別為：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.

（Ⅰ）根據(jù)公司人力資源部門的要求，若月均銷售額超過3.52萬元的組員不低于全組人數(shù)的，則對該銷售小組給予獎勵，否則不予獎勵.試判斷該公司是否需要對抽取的銷售小組發(fā)放獎勵；

（Ⅱ）在該銷售小組中，已知月均銷售額最高的5名銷售員中有1名的月均銷售額造假.為找出月均銷售額造假的組員，現(xiàn)決定請專業(yè)機(jī)構(gòu)對這5名銷售員的月均銷售額逐一進(jìn)行審核，直到能確定出造假組員為止.設(shè)審核次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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