正四面體的各頂點(diǎn)為A1,A2,A3,A4,進(jìn)入某頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)X不停留在同一個(gè)頂點(diǎn)上,每隔1秒鐘向其他三個(gè)頂點(diǎn)以相同的概率移動(dòng).n秒后X在Ai(i=1,2,3,4)的概率用Pi(n)(n=0,1,2…)表示.當(dāng),時(shí),
(1)求P2(1),P2(2);
(2)求P2(n)與P2(n-1)的關(guān)系(n∈N*)及P2(n)關(guān)于n的表達(dá)式,P1(n)關(guān)于n的表達(dá)式.
【答案】分析:(1)P2(1)即1秒后動(dòng)點(diǎn)在A2的概率,它有三種情況:開(kāi)始時(shí)(0秒)在A1,1秒后移動(dòng)到A2;開(kāi)始時(shí)在A3,1秒后移動(dòng)到A2;開(kāi)始時(shí)在A4,1秒后移動(dòng)到A2.根據(jù)這三種結(jié)果互斥得到結(jié)論.
(2)n秒后動(dòng)點(diǎn)在A2,即n-1秒后動(dòng)點(diǎn)不在A2,其概率為1-P2(n-1),得到概率之間的關(guān)系是數(shù)列遞推關(guān)系,從概率問(wèn)題自然地過(guò)渡到數(shù)列問(wèn)題,再用數(shù)列的辦法解決.
解答:解:(1)P2(1)即1秒后動(dòng)點(diǎn)在A2的概率,它有三種情況;
①開(kāi)始時(shí)(0秒)在A1,1秒后移動(dòng)到A2;
由題意知,每隔1秒鐘動(dòng)點(diǎn)X從一個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)到另一個(gè)頂點(diǎn)的概率均為;
所以這種情況的概率為:P1(0)×=;
②開(kāi)始時(shí)在A3,1秒后移動(dòng)到A2;其概率為:P3(0)×=;
③開(kāi)始時(shí)在A4,1秒后移動(dòng)到A2;其概率為:P4(0)×=;
又這三種情況互斥,
∴P2(1)=++=
我們?cè)O(shè)想一下,如果仍然按這個(gè)辦法計(jì)算P2(2),
將不勝其煩,因?yàn)槭紫纫鉖1(1)、P3(1)、P4(1);
事實(shí)上1秒后動(dòng)點(diǎn)在A2,即開(kāi)始時(shí)(0秒)動(dòng)點(diǎn)不在A2,其概率為:1-P2(0)=
而每隔1秒鐘動(dòng)點(diǎn)X從一個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)到另一個(gè)頂點(diǎn)的概率均為;
所以P2(1)=×=.類似的,2秒后動(dòng)點(diǎn)在A2
即1秒后動(dòng)點(diǎn)不在A2,其概率為:1-P2(1)=,
∴P2(2)=×=
(2)n秒后動(dòng)點(diǎn)在A2,即n-1秒后動(dòng)點(diǎn)不在A2,
其概率為:1-P2(n-1),
∴P2(n)=[1-P2(n-1)]×
至此,問(wèn)題化歸為數(shù)列問(wèn)題.即:已知數(shù)列{P2(n)}滿足:
P2(n)=-P2(n-1)+,求通項(xiàng)公式.
用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列,
設(shè)P2(n)+x=-[P2(n-1)+x],得x=,可見(jiàn)
數(shù)列{P2(n)}是以-為公比的等比數(shù)列,其首項(xiàng)為P2(1)=
∴P2(n)=,P2(n)=
完全類似地,可得P1(n)=-P1(n-1)+,于是有P1(n)=-[P1(n-1)]
但P1(1)=0,
∴數(shù)列{P1(n)}是常數(shù)列,即P1(n)=
點(diǎn)評(píng):本題的關(guān)鍵是第n秒后動(dòng)點(diǎn)在某一頂點(diǎn)即意味著第n-1秒后動(dòng)點(diǎn)不在該頂點(diǎn),由此反映的它們的概率之間的關(guān)系正是數(shù)列的前后項(xiàng)之間的關(guān)系即遞推關(guān)系,于是從概率問(wèn)題自然地過(guò)渡到數(shù)列問(wèn)題,再用數(shù)列的辦法解決之.
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