已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的最大值;

(2)若函數(shù)有相同極值點(diǎn),

①求實(shí)數(shù)的值;

②若對于為自然對數(shù)的底數(shù)),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

【答案】

(1)(2)

【解析】

試題分析:(1),      

;由.

上為增函數(shù),在上為減函數(shù).       

函數(shù)的最大值為.     

(2).

①由(1)知,是函數(shù)的極值點(diǎn),

函數(shù)有相同極值點(diǎn),是函數(shù)的極值點(diǎn),

,解得.       

經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)時,函數(shù)時取到極小值,符合題意. 

,

易知,即.

.     

由①知.

當(dāng)時,;當(dāng)時,.

上為減函數(shù),在上為增函數(shù).

,

.

.  

當(dāng),即時,對于,不等式恒成立.

,

.       

當(dāng),即時,對于,不等式恒成立.

.

綜上,所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.       

考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

點(diǎn)評:導(dǎo)數(shù)常應(yīng)用于求曲線的切線方程、求函數(shù)的最值與單調(diào)區(qū)間、證明不等式和解不等式中參數(shù)的取值范圍等。

 

練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)

(1)求函數(shù)的定義域 ;

(2)若函數(shù)的最小值為,求實(shí)數(shù)的值.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年人教版高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)
(1)求f(x)的定義域和值域;
(2)證明函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù).

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已知函數(shù);
(1)求出函數(shù)f(x)的對稱中心;
(2)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為減函數(shù);
(3)是否存在負(fù)數(shù)x,使得成立,若存在求出x;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆浙江省高二下期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)

(1)求的定義域;

(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并予以證明;

(3)若,猜想之間的關(guān)系并證明.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年北京市高三入學(xué)測試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本小題滿分12分)

已知函數(shù) ,

  (1)求函數(shù)的定義域;(2)證明:是偶函數(shù);

  (3)若,求的取值范圍。

 

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