Question

已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）若函數(shù)與有相同極值點(diǎn)，

①求實(shí)數(shù)的值；

②若對于（為自然對數(shù)的底數(shù)），不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1），      

由得；由得.

在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).       

函數(shù)的最大值為.     

（2）.

①由（1）知，是函數(shù)的極值點(diǎn)，

又函數(shù)與有相同極值點(diǎn)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，

，解得.       

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時，函數(shù)在時取到極小值，符合題意. 

②，

易知，即.

.     

由①知.

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

，

而.

.  

當(dāng)，即時，對于，不等式恒成立.

，

.       

當(dāng)，即時，對于，不等式恒成立.

，

.

綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.       

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)常應(yīng)用于求曲線的切線方程、求函數(shù)的最值與單調(diào)區(qū)間、證明不等式和解不等式中參數(shù)的取值范圍等。