已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足f(0)=0,對于任意x∈R都有f(x)≥x,且f(+x)=f(-x),令g(x)=f(x)-|λx-1|(λ>0)。
(1)求函數(shù)f(x)的表達式;
(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)研究函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上的零點個數(shù)。

解:(1)∵f(0)=0,
∴c=0,
∵對于任意x∈R都有,
∴函數(shù)f(x)的對稱軸為,即,得a=b,
又f(x)≥x,即對于任意x∈R都成立,
∴a>0,且,    
,
∴b=1,a=1,    
。
(2),
①當時,函數(shù)的對稱軸為,
,即0<λ≤2,函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增;
,即λ>2,函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
②當時,函數(shù)的對稱軸為, 
則函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
綜上所述,當0<λ≤2時,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為; 
時,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為
(3)①當0<λ≤2時,由(2)知函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,     
,     
故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上只有一個零點;
②當λ>2時,則,而,    
,
(。┤2<λ≤3,由于,
,
此時,函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上只有一個零點;
(ⅱ)若λ>3,由于<0,
此時,函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上有兩個不同的零點;
綜上所述,當0<λ≤3時,函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上只有一個零點;當λ>3時,函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上有兩個不同的零點.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當f(x)為奇函數(shù)時,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點;
(3)設q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數(shù)a的值;
(III)設g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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