Question

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知

CA

•

CB

=c2-(a-b)2．
（1）求cosC的值；
（2）若∠A是鈍角，求sinB的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)余弦定理將a，b，c的關系代入到

CA

•

CB

中，即得到角C的余弦值．
（2）現(xiàn)根據(jù)角A的范圍確定B，C的范圍，再由正弦函數(shù)的單調性可求出sinB的取值范圍．

解答：解：（1）由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
∴c²-（a-b）²=a²+b²-2abcosC-（a-b）²=2ab（1-cosC），
∵

CA

•

CB

=abcosC=c²-（a-b）²，
∴abcosC=2ab（1-cosC），
∴cosC=

2

3

．
（2）在△ABC中，由∠A是鈍角得，A=π-B-C＞

π

2

，
∴0＜B＜

π

2

-C＜

π

2

，
∵y=sinx在[0，

π

2

]上為增函數(shù)，
∴0＜sinB＜sin（

π

2

-C）=cosC=

2

3

，
∴sinB的取值范圍是0＜sinB＜

2

3

．

點評：本題主要考查余弦定理、向量的數(shù)量積運算和正弦函數(shù)的單調性．向量和三角函數(shù)的綜合題是高考的熱點，每年必考，要充分準備．