Question

已知圓錐曲線E的兩個焦點坐標是F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0），且離心率為e=

2

；
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）設曲線E表示曲線E的y軸左邊部分，若直線y=kx-1與曲線E相交于A，B兩點，求k的取值范圍；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，如果|

AB

|=6

3

，且曲線E上存在點C，使

OA

+

OB

=m

OC

，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由e=

2

知，曲線E是以F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0）為焦點的雙曲線，由此能求出曲線E的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組：

y=kx-1 x2-y2=1，x＜0

，得（1-k²）x²+2kx-2=0，x＜0，由此利用根的判別式和韋達定理能求出k的取值范圍．
（Ⅲ）由6

3

=|

AB

|=

1+k2

|x₁-x₂|推導出k=-

5

2

，從而直線AB的方程為

5

2

x+y+1=0．設C（x₀，y₀），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得C（

-4 5

m

，

8

m

）．由C在曲線E上，求得m=4．

解答： 解：（Ⅰ）由e=

2

知，曲線E是以F₁（-

2

，0），F(xiàn)₂（

2

，0）為焦點的雙曲線，
且c=

2

，

c

a

=

2

，解得a=1，∴b²=2-1=1，
故雙曲線E的方程是x²-y²=1． …（3分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組：

y=kx-1 x2-y2=1，x＜0

，得（1-k²）x²+2kx-2=0，x＜0，
從而有：

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

，解得-

2

＜k＜-1，
∴k的取值范圍是（-

2

，-1）．…（8分）
（Ⅲ）∵6

3

=|

AB

|=

1+k2

|x₁-x₂|
=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

，
整理得28k⁴-55k²+25=0，解得k2=

5

7

或k2=

5

4

，
注意到-

2

＜k＜-1，k=-

5

2

，
故直線AB的方程為

5

2

x+y+1=0．…（10分）
設C（x₀，y₀），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx₀，my₀），
又x1+x2=

-2k

1-k2

=-4

5

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2=8，∴C（

-4 5

m

，

8

m

）．
C在曲線E上，得

80

m2

-

64

m2

=1，解得m=±4，
但當m=-4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意，
∴m=4為所求．…（13分）

點評：本題考查曲線方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查實數(shù)的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．