Question

8．計(jì)算C${\;}_{n}^{1}$+2•C${\;}_{n}^{2}$2+…+n•C${\;}_{n}^{n}$2^n-1=n（1+2）^n-1，可以采用以下方法：
構(gòu)造恒等式：C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$2x+C${\;}_{n}^{2}$2²x²+…+C${\;}_{n}^{n}$2ⁿxⁿ=（1+2x）ⁿ
兩邊對(duì)x導(dǎo)，得C${\;}_{n}^{1}$2+2•C${\;}_{n}^{2}$2²x+••+n•C${\;}_{n}^{n}$2ⁿx^n-1=2n（1+2x）^n-1
在上式中令x=1，得C${\;}_{n}^{1}$+2•C${\;}_{n}^{2}$2+…+n•C${\;}_{n}^{n}$2^n-1=n（1+2）^n-1=n•3^n-1，
類比上述計(jì)算方法，計(jì)算C${\;}_{n}^{1}$2+2²C${\;}_{n}^{2}$2²+3²C${\;}_{n}^{3}$2³+…+n²C${\;}_{n}^{n}$2ⁿ=2n（2n+1）3^n-2．

Answer 1

分析 構(gòu)造恒等式C_n⁰+C_n¹2x+C_n²2²x²+…+C_nⁿ2ⁿxⁿ=（1+2x）ⁿ，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得C_n¹2+2•C_n²2²x+…+n•C_nⁿ2ⁿx^n-1=2n（1+2x）^n-1，兩邊同乘以x，得C_n¹2x+2•C_n²2²x²+…+n•C_nⁿ2ⁿxⁿ=2nx（1+2x）^n-1，再兩邊對(duì)x求導(dǎo)，x=1，得結(jié)論

解答 解：構(gòu)造恒等式C_n⁰+C_n¹2x+C_n²2²x²+…+C_nⁿ2ⁿxⁿ=（1+2x）ⁿ，
兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得C_n¹2+2•C_n²2²x+…+n•C_nⁿ2ⁿx^n-1=2n（1+2x）^n-1，
兩邊同乘以x，得C_n¹2x+2•C_n²2²x²+…+n•C_nⁿ2ⁿxⁿ=2nx（1+2x）^n-1，
再兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得C_n¹2+2²•C_n²2²x+…+n²•C_nⁿ2ⁿx^n-1=2n（2n+1）（1+2x）^n-2，
在上式中令x=1，得C_n¹2+2²C_n²2²+3²C_n³2³+…+n²C_nⁿ2ⁿ=2n（2n+1）3^n-2．
故答案為：2n（2n+1）3^n-2

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理，要掌握其一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），屬于中檔題．