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16．若向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，|$\overrightarrow$|=4，（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）=-72，則向量$\overrightarrow{a}$的模為（　　）
A．2B．4C．6D．12

分析 根據平面向量數量積與夾角、模長的關系計算（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）=-72，即可求出$\overrightarrow{a}$的模長．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，|$\overrightarrow$|=4，
且（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）=|$\overrightarrow{a}$|2-|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos60°-6|$\overrightarrow$|2
=|$\overrightarrow{a}$|2-2|$\overrightarrow{a}$|-96
=-72，
∴|$\overrightarrow{a}$|2-2|$\overrightarrow{a}$|-24=0，
即（|$\overrightarrow{a}$|-6）•（|$\overrightarrow{a}$|+4）=0；
解得|$\overrightarrow{a}$|=6，
∴向量$\overrightarrow{a}$的模為6．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量數量積與夾角、模長的計算問題，是基礎題目．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

4．已知曲線C：ρ=$\frac{2}{1-sinθ}$，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （t為參數，0≤α＜π）．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C交于A、B兩點（A在第一象限），當$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$時，求α的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

7．證明不等式：a，b，c∈R，a4+b4+c4≥abc（a+b+c）．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

4．在向南方雪災受災地區(qū)的捐款活動中，某慈善組織收到一筆10000元的匿名捐款，該組織經過調查，發(fā)現是甲、乙、丙、丁四個人當中的某一個捐的．慈善組織成員對他們進行求證時，發(fā)現他們的說法互相矛盾．
甲說：對不起，這錢不是我捐的
乙說：我估計這錢肯定是丁捐的
丙說：乙的收入最高，肯定是乙捐的
丁說：乙的說法沒有任何根據
假定四人中只有一個說了真話，那么真正的捐款者是甲（僅一人）．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

11．已知PA垂直于以AB為直徑的ΘO所在的平面，C是ΘO上異于A，B的動點，PA=1，AB=2，當三棱錐P-ABC取得最大體積時，求：
（1）PC與AB所成角的大小；
（2）PA與面PCB所成角的大�。�

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1．（理科）已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，A是E的右頂點，B1、B2是E的短軸兩頂點，且直線B1A的斜率與直線B2A的斜率之積為-$\frac{3}{4}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過E的右焦點F2作直線與E交于M、N兩點，直線MA、NA與直線X=3分別交于C、D兩點，設△ACD與△AMN的面積分別記為S1、S2，求2S1-S2的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

8．計算C${\;}_{n}^{1}$+2•C${\;}_{n}^{2}$2+…+n•C${\;}_{n}^{n}$2n-1=n（1+2）n-1，可以采用以下方法：
構造恒等式：C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$2x+C${\;}_{n}^{2}$22x2+…+C${\;}_{n}^{n}$2nxn=（1+2x）n
兩邊對x導，得C${\;}_{n}^{1}$2+2•C${\;}_{n}^{2}$22x+••+n•C${\;}_{n}^{n}$2nxn-1=2n（1+2x）n-1
在上式中令x=1，得C${\;}_{n}^{1}$+2•C${\;}_{n}^{2}$2+…+n•C${\;}_{n}^{n}$2n-1=n（1+2）n-1=n•3n-1，
類比上述計算方法，計算C${\;}_{n}^{1}$2+22C${\;}_{n}^{2}$22+32C${\;}_{n}^{3}$23+…+n2C${\;}_{n}^{n}$2n=2n（2n+1）3n-2．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中點．
（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

6．如圖，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直線AM與直線PC所成的角為45°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°．
（1）求證：AC⊥BM；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的余弦值．

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