Question

4．已知a，b∈（0，+∞），求證：${（{{a^3}+{b^3}}）^{\frac{1}{3}}}＜{（{{a^2}+{b^2}}）^{\frac{1}{2}}}$．

Answer 1

分析 利用分析法證明，即可得出結(jié)論．

解答 證明：要證明：${（{{a^3}+{b^3}}）^{\frac{1}{3}}}＜{（{{a^2}+{b^2}}）^{\frac{1}{2}}}$，
只需要證明：（a³+b³）²＜（a²+b²）³．
只需要證明：a⁶+b⁶+2a³b³＜a⁶+b⁶+3a⁴b²+3a²b⁴，
只需要證明：2ab＜3a²+3b²，
只需要證明：3（a-$\frac{1}{3}$b）²+$\frac{8}{3}$b²＞0，
∵a＞0，b＞0，
∴3（a-$\frac{1}{3}$b）²+$\frac{8}{3}$b²＞0．
∴原不等式成立．

點(diǎn)評 本題主要考查用分析法證明不等式，把證明不等式轉(zhuǎn)化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經(jīng)具備為止．