Question

20．已知冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{{m}^{2}+m-2}$（m∈Z）在（0，+∞）上是減函數(shù)，且f（x）的圖象關于y軸對稱，試求函數(shù)g（x）=2x+$\frac{1}{f（x）}$的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求出m的值，代入f（x）再驗證條件求出f（x），代入g（x）的解析式配方后，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的最小值．

解答 解：∵f（x）=x${\;}^{{m}^{2}+m-2}$（m∈Z）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴m²+m-2＜0，解得-2＜m＜1，
∵m∈N^*，∴m=-1或0，
當m=-1時，y=x^-2為偶函數(shù)滿足條件，
當m=0時，y=x^-2為偶函數(shù)滿足條件，
∴g（x）=2x+$\frac{1}{f（x）}$=x²+2x=（x+1）²-1，
∴函數(shù)g（x）的最小值是-1．

點評 本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)的應用，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．