Question

已知函數(shù)，g（x）=bx²+3x．
（Ⅰ）若曲線h（x）=f（x）-g（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線斜率為0，求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a∈[3，+∞），且ab=8時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)在區(qū)間[-2，-1]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由h（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線斜率為0，得，由該方程組即可解得a，b值；
（Ⅱ） 由ab=8可把φ（x）表示出含a的函數(shù)，求導(dǎo)φ′（x），在定義域內(nèi)解不等式φ′（x）＞0，φ′（x）＜0即得單調(diào)區(qū)間；由a∈[3，+∞），得，，按照極大值點(diǎn)-在區(qū)間[-2，-1]的左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)三種情況進(jìn)行討論即可得到答案；
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)h（x）定義域?yàn)閧x|x≠-a}，
則，
∵h(yuǎn)（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線斜率為0，
∴，即，解得或；
（Ⅱ）φ（x）=（x+a）（bx²+3x）（x≠-a），
∵ab=8，所以，∴（x≠-a），
∴，
令φ'（x）=0，得，或，
∵因?yàn)閍∈[3，+∞），∴所以，
∴故當(dāng)，或時(shí)，φ'（x）＞0，當(dāng)時(shí)，φ'（x）＜0，
∴函數(shù)φ（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
∵a∈[3，+∞），∴，，
①當(dāng)，即a≥12時(shí)，∵φ（x）在[-2，-1]單調(diào)遞增，
∴φ（x）在該區(qū)間的最小值為；
②當(dāng)，即6＜a＜12時(shí)，
∵φ（x）在[-2，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴φ（x）在該區(qū)間的最小值為=；
③當(dāng)時(shí)，即3≤a≤6時(shí)，∵φ（x）在[-2，-1]單調(diào)遞減，
∴φ（x）在該區(qū)間的最小值為，
綜上所述，當(dāng)3≤a≤6時(shí)，最小值為；當(dāng)6＜a＜12時(shí)，最小值為；當(dāng)a≥12時(shí)，最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識(shí)，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在（Ⅱ）問中的應(yīng)用．