Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=mx²-mx-1（m∈R），若對于x∈[-2，2]，f（x）＜-m+5恒成立，則m的取值范圍為（-∞，$\frac{6}{7}$）．

Answer 1

分析 將不等式等價f（x）＜-m+5轉(zhuǎn)化為m（x²-x+1）＜6，再利用參變量分離轉(zhuǎn)化為m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，f（x）＜-m+5對于x∈[-2，2]恒成立，即m＜（$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$）_min，再求出y=$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值，即可求得m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=mx²-mx-1，
∴f（x）＜-m+5對于x∈[-2，2]恒成立，即m（x²-x+1）＜6對于x∈[-2，2]恒成立，
∵x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，
∴m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$對于x∈[-2，2]恒成立，即m＜（$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$）_min，
∵y=$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{6}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
∴當(dāng)x=-2，（$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$）_min=$\frac{6}{7}$，
∴m＜$\frac{6}{7}$．
故m的取值范圍為（-∞，$\frac{6}{7}$）．
故答案為：（-∞，$\frac{6}{7}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，以及函數(shù)的恒成立問題．對于恒成立問題，一般選用參變量分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值．屬于中檔題．