Question

15．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$及$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出；
（2）利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61，
∴61=$4{\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-3${\overrightarrow}^{2}$=4×4²-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-3×3²，
化為$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-6．
∴-6=4×3×cosθ，
化為cosθ=-$\frac{1}{2}$．
∵θ∈[0，π]，
∴$θ=\frac{2π}{3}$．
（2）|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}-2×（-6）}$=$\sqrt{37}$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．