Question

14．如圖，將正三角形ABC分割成m個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形和一個(gè)灰色菱形，這個(gè)灰色菱形可以分割成n個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形．若m：n=47：25，則三角形ABC的邊長(zhǎng)是（　�。�

• A． 10
• B． 11
• C． 12
• D． 13

Answer 1

分析 設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)等邊三角形的高為邊長(zhǎng)的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，求出正△ABC的面積，再根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合圖形表示出菱形的兩對(duì)角線，然后根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半表示出菱形的面積，然后根據(jù)所分成的小正三角形的個(gè)數(shù)的比等于面積的比列式計(jì)算即可得解．

解答 解：設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為x，則高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
∵所分成的都是正三角形，
∴結(jié)合圖形可得黑色菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線為$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$，較短的對(duì)角線為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{x}{2}$-1；
∴黑色菱形的面積S′=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$）（$\frac{x}{2}$-1）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（x-2）²，
若m：n=47：25，則$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{8}（x-2）^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{8}（x-2）^{2}}$=$\frac{47}{25}$，
解可得x=12或x=$\frac{12}{11}$（舍），
所以，△ABC的邊長(zhǎng)是12；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握有一個(gè)角等于60°的菱形的兩條對(duì)角線的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于根據(jù)三角形的面積與菱形的面積列出方程．