Question

4．如圖，P∉平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，求證：平面ABC⊥平面PBC．

Answer 1

分析 要證明面面垂直，只要在其平面內(nèi)找一條線，然后證明直線與另一平面垂直即可．顯然BC中點(diǎn)D，證明AD垂直平PBC即可．

解答 證明：取BC中點(diǎn)D 連結(jié)AD、PD
∵PA=PB；∠APB=60°
∴△PAB為正三角形            
同理△PAC為正三角形
設(shè)PA=a
在Rt△BPC中，PB=PC=a，BC=$\sqrt{2}$a
∴PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a
在△ABC中，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a
∵AD²+PD²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²=a²=AP²
∴△APD為直角三角形
即AD⊥DP
又∵AD⊥BC
∴AD⊥平面PBC
∴平面ABC⊥平面PBC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面、平面與平面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，證明AD⊥DP是關(guān)鍵．