Question

9．若在區(qū)間（0，m]上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）=x⁴-ax²-1有整數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{15}{4}$，$\frac{80}{9}$）．

Answer 1

分析 化簡可得a=$\frac{{x}^{4}-1}{{x}^{2}}$=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$，從而可判斷其在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)；從而求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：令f（x）=x⁴-ax²-1=0得，
a=$\frac{{x}^{4}-1}{{x}^{2}}$=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$；
易知a=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)；
且當(dāng)x²=1時(shí)，a=0，當(dāng)x²=4時(shí)，a=$\frac{15}{4}$，當(dāng)x²=9時(shí)，a=$\frac{80}{9}$；
又∵在區(qū)間（0，m]上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）=x⁴-ax²-1有整數(shù)零點(diǎn)，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{15}{4}$，$\frac{80}{9}$）；
故答案為：[$\frac{15}{4}$，$\frac{80}{9}$）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．