Question

19．已知數(shù)列滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}+1}$，求通項(xiàng)a_n．

Answer 1

分析 由已知得1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）²，從而lg（1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）=2lg（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$），由此可得數(shù)列l(wèi)g（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）是公比為2，首項(xiàng)為lg2的等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式后得答案．

解答 解：：∵a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{2}{{a}_{n}}$，
∴1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{2}{{a}_{n}}+1$=（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）²
∴l(xiāng)g（1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）=2lg（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
∴$\frac{lg（1+\frac{1}{{a}_{n+1}}）}{lg（1+\frac{1}{{a}_{n}}）}=2$．
∵a₁=1，
∴l(xiāng)g（1+1）=lg2，
∴數(shù)列l(wèi)g（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）是公比為2，首項(xiàng)為lg2的等比數(shù)列，
則lg（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=2^n-1•lg2，
∴1+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$1{0}^{lg{2}^{{2}^{n-1}}}$=${2}^{{2}^{n-1}}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{{2}^{n-1}}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．是中檔題．