Question

15．若方程ae^x-x=0有兩個不相等的實根，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{1}{e}$）
• C． （$\frac{1}{e}$，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）=ae^x -x 有2個不同的零點．由函數(shù)f（x）=0，求得a=$\frac{x}{{e}^{x}}$．利用導數(shù)求得a的最大值為$\frac{1}{e}$，且$\underset{lim}{x→-∞}\frac{x}{{e}^{x}}$=-∞，$\lim_{x→+∞}\frac{x}{{e}^{x}}$=0，可得a的取值范圍．

解答 解：令函數(shù)f（x）=ae^x -x，則由題意可得f（x）有2個不同的零點．
∴由函數(shù)f（x）=ae^x-x=0，求得a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，令g′（x）=0，求得x=1，
在（-∞，1）上，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；在（1，+∞）上g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
故g（1）=$\frac{1}{e}$為g（x）的最大值．
且$\underset{lim}{x→-∞}\frac{x}{{e}^{x}}$=-∞，$\lim_{x→+∞}\frac{x}{{e}^{x}}$=0．
再根據(jù)f（x）有2個不同的零點，可得0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故選：B．

點評 本題考查了利用方程的根，函數(shù)的交點，求解函數(shù)的零點問題，利用導數(shù)求解問題，屬于中檔題