已知y=f(x)(x∈D,D為此函數(shù)的定義域)同時滿足下列兩個條件:①函數(shù)f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②如果存在區(qū)間[a,b]⊆D,使函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域為[a,b],那么稱y=f(x),x∈D為閉函數(shù);請解答以下問題:
(1)求閉函數(shù)y=-x3符合條件②的區(qū)間[a,b];
(2)判斷函數(shù)f(x)=
3
4
x+
1
x
(x∈(0,+∞))
是否為閉函數(shù)?并說明理由;
(3)若y=k+
x
(k<0)
是閉函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)確定y=-x3是R上的減函數(shù),可得a+b=0,又b>a,即可得出結(jié)論;
(2)當(dāng)x>0,f(x)=
3
4
x+
1
x
(0,
2
3
3
]
上單調(diào)遞減,在(
2
3
3
,+∞)
上單調(diào)遞增,可得結(jié)論;
(3)易知y=k+
x
是(0,+∞)上的增函數(shù),符合條件①;設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a,b],則
a=k+
a
b=k+
b
,利用條件,可得結(jié)論.
解答:解:(1)先證y=-x3符合條件①:對于任意x1,x2∈R,
且x1<x2,有y1-y2=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+
1
2
x1)2+
3
4
x12]>0
,
∴y1>y2,故y=-x3是R上的減函數(shù).
由題可得:
b=-a3
a=-b3
則(a+b)=-(a3+b3),∴(a+b)[a2-ab+b2+1]=0
a2-ab+b2+1=(a-
b
2
)2+
3
4
b2+1>0
,∴a+b=0,
又b>a,∴a=-1,b=1所求區(qū)間為[-1,1]
(2)當(dāng)x>0,f(x)=
3
4
x+
1
x
(0,
2
3
3
]
上單調(diào)遞減,在(
2
3
3
,+∞)
上單調(diào)遞增,
所以,函數(shù)在定義域上不是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù),從而該函數(shù)不是閉函數(shù)
(3)易知y=k+
x
是(0,+∞)上的增函數(shù),符合條件①;
設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a,b],則
a=k+
a
b=k+
b

故a,b是x=k+
x
的兩個不等根,即方程組為:
x2-(2k+1)x+k2=0
x≥0
x≥k
有兩個不等非負(fù)實根;
設(shè)x1,x2為方程x2-(2k+1)x+k2=0的二根,
△=(2k+1)2-4k2>0
x1+x2=2k+1>0
x1x2=k2≥0
k<0

解得:-
1
4
<k<0
,∴k的取值范圍(-
1
4
,0)
點評:本題考查新定義,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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1
2
,+∞)
的可導(dǎo)函數(shù),f(1)=f(3)=1,f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x),且x∈(
1
2
,2)
時,f′(x)<0;x∈(2,+∞)時,f′(x)>0,則不等式組
-2≤x-2y≤
1
2
f(2x+y)≤1
所表示的平面區(qū)域的面積等于(  )

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x
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已知函數(shù)f(x)=log2(x+1),當(dāng)點 (x,y) 是函數(shù)y=f (x) 圖象上的點時,點是函數(shù)y=g(x) 圖象上的點.
(1)寫出函數(shù)y=g (x) 的表達式;
(2)當(dāng)g(x)-f (x)≥0時,求x的取值范圍;
(3)當(dāng)x在 (2)所給范圍內(nèi)取值時,求g(x)-f(x)的最大值.

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(1)已知函數(shù)f(x)=ax-x(a>1).
①若f(3)<0,試求a的取值范圍;
②寫出一組數(shù)a,x(x≠3,保留4位有效數(shù)字),使得f(x)<0成立;
(2)在曲線上存在兩個不同點關(guān)于直線y=x對稱,求出其坐標(biāo);若曲線(p≠0)上存在兩個不同點關(guān)于直線y=x對稱,求實數(shù)p的范圍;
(3)當(dāng)0<a<1時,就函數(shù)y=ax與y=logax的圖象的交點情況提出你的問題,并取加以研究.當(dāng)0<a<1時,就函數(shù)y=ax與y=logax的圖象的交點情況提出你的問題,并加以解決.(說明:①函數(shù)f(x)=xlnx有如下性質(zhì):在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.解題過程中可以利用;②將根據(jù)提出和解決問題的不同層次區(qū)別給分.)

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