Question

（2013•溫州一模）已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C的對邊，且滿足2asinB-

3

b=0．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）當A為銳角時，求函數y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）的值域．

Answer 1

分析：（I）根據正弦定理，化簡2asinB-

3

b=0得2sinAsinB-

3

sinB=0，結合sinB＞0算出sinA=

3

2

，由A∈（0，π）即可得到A=

π

3

或A=

2π

3

；
（II）因為A為銳角，可得A=

π

3

，從而得到B+C=

2π

3

，將函數y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）化簡為y=

3

sinB+sin（

π

2

-B），再由兩角差的正弦公式和輔助角公式化簡整理，得y=2sin（B+

π

6

），最后根據三角函數的圖象與性質，結合角B的取值范圍，即可求出函數y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵2asinB-

3

b=0
∴由正弦定理，得：2sinAsinB-

3

sinB=0，
∵B是三角形內角，可得sinB＞0…（3分）
∴等式的兩邊約去sinB，得2sinA-

3

=0，即sinA=

3

2

…（5分）
因此，A=

π

3

或A=

2π

3

           …（7分）
（Ⅱ）∵A為銳角，∴結合（I）得A=

π

3

結合三角形內角和，得B+C=

2π

3

           …（9分）
∵y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）=

3

sinB+sin（

π

2

-B）
=

3

sinB+cosB=2sin（B+

π

6

）           …（12分）
∵B∈（0，

π

3

），得B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

）
∴sin（B+

π

6

）∈(

1

2

，1]，可得2sin（B+

π

6

）∈（1，2]
因此，函數y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）的值域域為（1，2]…（14分）

點評：本題給出三角形中的邊角關系，求角A的大小并依此求一個三角函數式的值域，著重考查了用正余弦定理解三角形、三角函數的圖象與性質和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．