Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角α與鈍角β的終邊與單位圓分別交于點A，B兩點，x軸正半軸與單位圓交于點M，已知${S_{△OAM}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，點B的縱坐標(biāo)是$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
（Ⅰ）求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）求2α-β 的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)OA=OM=1，${S_{△OAM}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，利用三角形面積的公式求解出sinα和cosα，又點B的縱坐標(biāo)是$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，求出sinβ和cosβ，即可求出cos（α-β）的值．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中sinα和cosα，sinβ和cosβ的值，通過二倍角公式化簡，構(gòu)造思想可得2α-β 的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，OA=OM=1
∵${S_{△OAM}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$和α為銳角，
∴$sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
又點B的縱坐標(biāo)是$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
∴$sinβ=\frac{{\sqrt{2}}}{10}，cosβ=-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$
∴$cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}（{-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}}）+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\frac{{\sqrt{2}}}{10}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
（Ⅱ）∵$cos2α=2{cos^2}α-1=2{（{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}）^2}-1=-\frac{3}{5}$，
$sin2α=2sinα•cosα=2\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\frac{4}{5}$，
∴$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$
∵$β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴$2α-β∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$
∵$sin（2α-β）=sin2α•cosβ+cos2α•sinβ=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
故$2α-β=-\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考察了同角三角函數(shù)關(guān)系式，和與差的正弦公式和余弦公式，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．