Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|為兩點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之間的“折線距離”．則下列命題中：
①若C點在線段AB上，則有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．
②若點A，B，C是三角形的三個頂點，則有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．
③到M（-1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”相等的點的軌跡是直線x=0．
④若A為坐標(biāo)原點，B在直線x+y-2$\sqrt{5}$=0上，則d（A，B）的最小值為2$\sqrt{5}$．
真命題的個數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先根據(jù)折線距離的定義分別表示出所求的集合，然后根據(jù)集合中絕對值的性質(zhì)進(jìn)行判定即可．

解答 解：若點C在線段AB上，設(shè)C點坐標(biāo)為（x₀，y₀），x₀在x₁、x₂之間，y₀在y₁、y₂之間，
則d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=d（A，B）成立，故①正確；
在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|≥|（x₀-x₁）+（x₂-x₀）|+|（y₀-y₁）+（y₂-y₀）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=d（A，B）③，故②錯誤；
到M（-1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”相等點的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x-1|+|y|}，
由|x+1|=|x-1|，解得x=0，
∴到M（-1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”相等的點的軌跡方程是x=0，即③成立；
設(shè)B（x，y），則d（A，B）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x|+|2$\sqrt{5}$-x|≥2$\sqrt{5}$，即d（A，B）的最小值為2$\sqrt{5}$，故④正確；
綜上知，正確的命題為①③④，共3個．
故選：C．

點評 本題主要考查了“折線距離”的定義，考查分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．