Question

（1）求函數(shù)y=(

1

3

)x2-2x-1的值域和單調(diào)區(qū)間．
（2）已知-1≤x≤2，求函數(shù)f（x）=3+2•3^x+1-9^x的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)函數(shù)y=(

1

3

)x2-2x-1=(

1

3

)t，t=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，由此能求出函數(shù)y=(

1

3

)x2-2x-1的值域；在函數(shù)y=(

1

3

)x2-2x-1中，

1

3

＜1，t=x²-2x-1的對(duì)稱軸是x=1，由此能求出函數(shù)y=(

1

3

)x2-2x-1的單調(diào)區(qū)間．
（2）由-1≤x≤2，知

1

3

≤3x≤9，由f（x）=3+2•3^x+1-9=-（3^x-3）²+12，能求出函數(shù)f（x）=3+2•3^x+1-9^x的最大值和最小值．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)y=(

1

3

)x2-2x-1=(

1

3

)t，
t=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，
∴函數(shù)y=(

1

3

)x2-2x-1的值域是（0，9]；
在函數(shù)y=(

1

3

)x2-2x-1中，
∵

1

3

＜1，t=x²-2x-1的對(duì)稱軸是x=1，增區(qū)間是[1，+∞），減區(qū)間是（-∞，1]，
∴函數(shù)y=(

1

3

)x2-2x-1的增區(qū)間是（-∞，1]，減區(qū)間是[1，+∞）．
（2）∵-1≤x≤2，∴

1

3

≤3x≤9，
∵f（x）=3+2•3^x+1-9^x
=3+6•3^x-（3^x）²
=-（3^x-3）²+12，
∴3^x=3時(shí)，f（x）取最大值12，
3^x=9時(shí)，f（x）取最小值-24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．