Question

已知P（x，y）為函數(shù)y=lnx圖象上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OP的斜率為k=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；     
（Ⅱ）求函數(shù)F（x）=x-f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)k=f（x）=

lnx

x

（x＞0），求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；令f′（x）＜0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）F（x）=x-

lnx

x

，求導(dǎo)函數(shù)可得F′（x）=

x2-1+lnx

x2

，構(gòu)造新函數(shù)h（x）=x²-1+lnx，確定h（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，從而可求函數(shù)F（x）=x-f（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）k=f（x）=

lnx

x

（x＞0），求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=

1-lnx

x2

令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令f′（x）＜0，可得x＞e
∴f（x）在（0，e）單調(diào)遞增，（e，+∞）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）F（x）=x-

lnx

x

，求導(dǎo)函數(shù)可得F′（x）=

x2-1+lnx

x2

設(shè)h（x）=x²-1+lnx，求導(dǎo)函數(shù)可得h′(x)=2x+

1

x

＞0(x＞0)------------------（5分）
∴h（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)．
∵h(yuǎn)（1）=0，∴F'（1）=0，除了1之外，F(xiàn)（x）無其他零點(diǎn)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（1）=1為最小值．---------------（12分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．