【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，.

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）設(shè)Q為線段PD上的點(diǎn)，且直線AQ和平面PAC所成角的正弦值為，求的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】

（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明．

（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（3）設(shè)為線段上的點(diǎn)，，，，，，求出，由平面的法向量，且直線和平面所成角的正弦值為，利用向量法能求出結(jié)果．

解：（1）證明：∵在四棱錐中，平面ABCD，

，，，，，.

∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，

∴，∴.

（2）解：，，，

設(shè)平面APC的法向量，

則，

取，得，

平面PCD的法向量，

設(shè)二面角的平面角為，

則.

∴二面角的余弦值為.

（3）解：設(shè)Q為線段PD上的點(diǎn)，，

，

則，

解得，，，

∴，，

∵平面PAC的法向量，

且直線AQ和平面PAC所成角的正弦值為，

∴，

解得或（舍），

∴.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】新型冠狀病毒最近在全國(guó)蔓延，具有很強(qiáng)的人與人之間的傳染性，該病毒在進(jìn)入人體后一般有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內(nèi)患者無(wú)任何癥狀，為病毒傳播的最佳時(shí)間.假設(shè)每位病毒攜帶者在潛伏期內(nèi)每天有位密切接觸者，接觸病毒攜帶者后被感染的概率為，每位密切接觸者不用再接觸其他病毒攜帶者.

（1）求一位病毒攜帶者一天內(nèi)感染的人數(shù)的均值；

（2）若，時(shí)，從被感染的第一天算起，試計(jì)算某一位病毒攜帶者在14天潛伏期內(nèi)，被他平均累計(jì)感染的人數(shù)（用數(shù)字作答）；

（3）3月16日20時(shí)18分，由我國(guó)軍事科學(xué)院軍事科學(xué)研究院陳薇院士領(lǐng)銜的科學(xué)團(tuán)隊(duì)，研制重組新型冠狀病毒疫苗獲批進(jìn)入臨床狀態(tài)，新疫苗的使用，可以極大減少感染新型冠狀病毒的人數(shù)，為保證安全性和有效性，某科研團(tuán)隊(duì)抽取500支新冠疫苗，觀測(cè)其中某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，得到如下頻率分布直方圖：

①求這500支該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)代表間的中點(diǎn)值）

②由直方圖可以認(rèn)為，新冠疫苗的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算可得這500支新冠疫苗該項(xiàng)指標(biāo)值的樣本方差.現(xiàn)有5名志愿者參與臨床試驗(yàn)，觀測(cè)得出該項(xiàng)指標(biāo)值分別為：206，178，195，160，229，試問(wèn)新冠疫苗的該項(xiàng)指標(biāo)值是否正常，為什么？

參考數(shù)據(jù)：，若，則，，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了60名男顧客和80名女顧客，每位顧客均對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面不完整的列聯(lián)表：

滿意

不滿意

合計(jì)

男顧客

50

女顧客

50

合計(jì)

（1）根據(jù)已知條件將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

（2）能否有的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），B （1，0），平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足下列條件：（1）；（2）；（3）∥，則△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為_____．

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【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）滿足|x﹣1|+|y﹣a|＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的最大值的取值范圍為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，（）.

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)，，指出的范圍，并求的取值范圍.

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【題目】已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為該橢圓的一條垂直于軸的動(dòng)弦，直線與軸交于點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.

（1）證明：點(diǎn)恒在橢圓上.

（2）設(shè)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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【題目】過(guò)雙曲線C：1（a＞0，b＞0）右焦點(diǎn)F2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為P，與雙曲線交于點(diǎn)A，若 ，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）

A.y＝±xB.y＝±xC.y＝±2xD.y＝±x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求函數(shù)在上的最值；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：，其中（表示中較小的數(shù).）

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