Question

13．拋物線C：y²=2px（p＞0），過點F（1，0）的直線l與C交于M，N兩點，且△MON（O為坐標原點）面積的最小值為2
（1）求拋物線C的方程；
（2）直線l上的點Q滿足$\frac{2}{{|FQ{|^2}}}=\frac{1}{{|FM{|^2}}}+\frac{1}{{|FN{|^2}}}$，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）分類討論，求出△MON（O為坐標原點）面積的最小值，即可求拋物線C的方程；
（2）分類討論，利用直線l上的點Q滿足$\frac{2}{{|FQ{|^2}}}=\frac{1}{{|FM{|^2}}}+\frac{1}{{|FN{|^2}}}$，求出弦長，即可求點Q的軌跡方程．

解答 解：（1）①當l⊥x時，l：x=1，${y_M}=\sqrt{2p}$，${S_△}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2p}×1=\sqrt{2p}=2，p=2$
②當l斜率存在時，設l：y=k（x-1）與y²=2px聯立，得k²x²-（2k²+2p）+k²=0，${S_△}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2p+\frac{{4{p^2}}}{k^2}}＞\sqrt{2p}$，所以當l⊥x時面積最小，
所以p=2，拋物線方程為y²=4x…（6分）
（2）設Q（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①當l⊥x時，l：x=1，y₁=2，y₂=-2，點Q（1，±2）
②當l斜率存在時，設l：y=k（x-1）與y²=4x聯立，得k²x²-（2k²+4）+k²=0，
|FQ|²=（1+k²）（x-1）²，$|FM{|^2}=（1+{k^2}）{（{x_1}-1）^2}$，$|FN{|^2}=（1+{k^2}）{（{x_2}-1）^2}$，
由$\frac{2}{{|FQ{|^2}}}=\frac{1}{{|FM{|^2}}}+\frac{1}{{|FN{|^2}}}$得$\frac{2}{{{{（x-1）}^2}}}=\frac{1}{{{{（{x_1}-1）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{x_2}-1）}^2}}}=\frac{{{{（{x_1}-1）}^2}+{{（{x_2}-1）}^2}}}{{{{（{x_1}-1）}^2}{{（{x_2}-1）}^2}}}$=$\frac{k^2}{2}+1$，
因為$k=\frac{y}{x-1}$，所以$\frac{2}{{{{（x-1）}^2}}}=\frac{y^2}{{2{{（x-1）}^2}}}+1（x≠1）$，
化簡得2（x-1）²+y²=4（x≠±1），Q（1，±2）也符合．
所以點Q的軌跡方程為2（x-1）²+y²=4…（6分）

點評 本題考查軌跡方程，考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．