Question

夏都廣場地面噴泉的噴頭用鑄鐵防護(hù)罩保護(hù)，防護(hù)罩的圖案如圖所示，外圈是正方形．正方形的對角線長為2a，在正方形內(nèi)作一個(gè)內(nèi)切圓；在第一個(gè)內(nèi)切圓內(nèi)又作一個(gè)內(nèi)接正方形，在正方形內(nèi)再作第二個(gè)內(nèi)切圓；然后又在第二個(gè)內(nèi)切圓中作內(nèi)接正方形，在正方形內(nèi)再作第三個(gè)內(nèi)切圓，…，依此作到第n個(gè)內(nèi)切圓，它的半徑是

(

2

2

)na

．

Answer 1

分析：先根據(jù)正方形的對角線長為2a，求出正方形的邊長為

2

a，即為第二正方形的對角線的長，從而求出第一個(gè)內(nèi)切圓的半徑，同理求出第二個(gè)內(nèi)切圓的半徑，然后歸納推理得到第n個(gè)內(nèi)切圓的半徑．

解答：解：∵正方形的對角線長為2a，
∴正方形的邊長為

2

a，即為第二正方形的對角線的長
∵在正方形內(nèi)作一個(gè)內(nèi)切圓，則邊長即為內(nèi)切圓的直徑
∴第一個(gè)內(nèi)切圓的半徑為

2

2

a
第一個(gè)內(nèi)切圓的半徑為

2

2

×

2

2

a=(

2

2

)2a
依此類推得作到第n個(gè)內(nèi)切圓，它的半徑是(

2

2

)na
故答案為：(

2

2

)na

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，以及正方形的內(nèi)切圓的半徑的求解和歸納推理，屬于中檔題．