已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標軸上,離心率為,且過點P(4,-).
(1)求雙曲線的方程.
(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0.
(3)求△F1MF2的面積.
(1) x2-y2=6   (2)見解析   (3)6
(1)∵e=,
∴可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ(λ≠0).
∵過點P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.
∴雙曲線方程為x2-y2=6.
(2)方法一:由(1)可知,雙曲線中a=b=,
∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).
∴=,=,
·==-.
∵點M(3,m)在雙曲線上,
∴9-m2=6,m2=3.
故·=-1,∴MF1⊥MF2.
∴·=0.
方法二:∵=(-3-2,-m),
=(2-3,-m),
∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.
∵M(3,m)在雙曲線上,
∴9-m2=6,即m2-3=0.
∴·=0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,
△F1MF2的邊F1F2上的高h=|m|=,
∴=6.
練習冊系列答案
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A．3B．2C．D．

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