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設
a
=(cos(θ-
π
6
) ，sin(θ-
π
6
)) ，
b
=(2cos(θ+
π
6
)，2sin(θ+
π
6
))．
（1）若向量(2t
b
+7
a
)與向量(
b
+t
a
)的夾角為銳角，求實數t的取值范圍；
（2）當t在區(qū)間（0，1]上變化時，求向量2t
b
+
m
t
a
(m為常數，且m＞0）的模的最小值．
（1）由題設易得|
a
|=1，|
b
|=2，
a
•
b
=2cos[(θ-
π
6
)-(θ+
π
6
)]=2cos(-
1
3
π)=1 
∴(2t
b
+7
a
)•(
b
+t
a
)=2t|
b
|2=2t|
b
 |2+2t
a
•
b
+7
a
•
b
+7t|
a
|  2＞0
整理可得，2t2+15t+7＞0
∴t＞-
1
2
 或 t＜-7
又當2t
b
+7
a
與b+t
a
共線時，不滿足題意．
令2t
b
+7
a
=λ(
b
+t
a
)
則
2t=λ
7=tλ
∴t=±
14
2

∴t＞-
1
2
 或 t＜-7，且t≠±
14
2
         （6分）
（2）∵(2b
t
+
m
t
a
)2=4t2|
b
|2+4m
a
•
b
+
m2
t2
|
a
|2
=16t2+
m2
t2
+4m
令y=16t2+
m2
t2
+4m t∈（0，1]
∵y=16t2+
m2
t2
+4m≥8m+4m=12m
當且僅當t=
m
2

于是①當
m
2
∈(0，1] 即 0＜m≤4時
當且僅當t=
m
2
時，ymin=12m．從而|2t
b
+
m
t
a
|=2
3m

②當
m
2
＞1 即m＞4時
可證 y=16t2+
m2
t2
+4m在（0，1]為減函數
從而當t=1時，ymin=m2+4m+16
∴|2t
b
+
m
t
a
| min=
m2+4m+16
                （6分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設a=cos（
10π
3
），b=sin（-380°），則（　�。�
A、a＞0，b＞0
B、a＞0，b＜0
C、a＜0，b＞0
D、a＜0，b＜0

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科目：高中數學 來源： 題型：

設
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)
（1）若
a
-
b
=(-
2
3
，
1
3
)，θ為
a
，
b
的夾角，求cosθ．
（2）若
a
與
b
夾角為60°，那么t為何值時|
a
-t
b
|的值最��？

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•靜安區(qū)一模）（理）設
a
=(cosα，(λ-1)sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，(λ＞0，0＜α＜β＜
π
2
)是平面上的兩個向量，若向量
a
+
b
與
a
-
b
相互垂直，
（1）求實數λ的值；
（2）若
a
•
b
=
4
5
，且tanα=
4
3
，求α的值（結果用反三角函數值表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設
a
=(cos(θ-
π
6
) ，sin(θ-
π
6
)) ，
b
=(2cos(θ+
π
6
)，2sin(θ+
π
6
))．
（1）若向量(2t
b
+7
a
)與向量(
b
+t
a
)的夾角為銳角，求實數t的取值范圍；
（2）當t在區(qū)間（0，1]上變化時，求向量2t
b
+
m
t
a
(m為常數，且m＞0）的模的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設
a
=(cosθ，sinθ)，
b
=(3，4)，則
a
•
b
的最小值是（　　）

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