Question

14．如圖，在半徑為30cm的半圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點C、D在圓弧上，點A、B在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮ABCD卷成一個以BC為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設矩形的邊長BC=xcm圓柱的體積為Vcm³．（1）寫出體積V關于x的函數(shù)關系式；
（2）當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子體積V最大？

Answer 1

分析 （1）連接OC，在Rt△OCB中，由BC=x，利用勾股定理可得OB，設圓柱底面半徑為r，則π²r²=900-x²，利用V=πr²•x（其中0＜x＜30）即可得出．
（2）利用導數(shù)V′，得出其單調性即可．

解答 解：（1）連結OC，因為BC=x，所以$OB=\sqrt{900-{x^2}}$，
設圓柱底面半徑為r，則$\sqrt{900-{x^2}}=πr$，即π²r²=900-x²，
所以，$V=π{r^2}•x=π•\frac{{900-{x^2}}}{π^2}•x=\frac{{900x-{x^3}}}{π}$其中0＜x＜30．…（7分）
（2）由${V^/}=\frac{{900-3{x^2}}}{π}=0$，得$x=10\sqrt{3}$，
又在$（0，10\sqrt{3}）$上V′＞0，在$（10\sqrt{3}，30）$上V′＜0，
所以，$V=\frac{{900x-{x^3}}}{π}$在$（0，10\sqrt{3}）$上是增函數(shù)，在$（10\sqrt{3}，30）$上是減函數(shù)，
所以，當$x=10\sqrt{3}$時，V有最大值..…（16分）

點評 熟練掌握勾股定理、圓柱的體積計算公式、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值等是解題的關鍵．