Question

19．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$滿足（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）$•\overrightarrow{BC}$=0，且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{2}$，則B=60°．

Answer 1

分析 設(shè)$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}}\end{array}|}=\overrightarrow{AE}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}|}=\overrightarrow{AF}$，由$（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}）•\overrightarrow{BC}$=0，可得AD⊥BC，再根據(jù)四邊形AEDF是菱形推出∠EAD=∠DAF，
再由第二個(gè)條件可得∠BAC=60°，得∴∠BAD=30°，從而∠ABC=60°．

解答 解：設(shè)$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}}\end{array}|}=\overrightarrow{AE}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}|}=\overrightarrow{AF}$，
則原式可化為$（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}）•\overrightarrow{BC}$=0，
即$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=0，故AD⊥BC．
∵四邊形AEDF是菱形，
$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{AF}}\end{array}|$cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠DAC=30°，
又∵AD⊥BC，即△ABH為直角三角形
∴∠ABC=90°-30°=60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評 本題考查兩個(gè)向量的加、減法的法則以及其幾何意義，屬于中檔題．