用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式時(shí)，當(dāng)n=k時(shí)，表達(dá)式為1×4+2×7+…+k（3k+1）=k（k+1）2，則當(dāng)n=k+1時(shí)，待證表達(dá)式應(yīng)為
1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=（k+!）（k+2）2
1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=（k+!）（k+2）2
．
分析：數(shù)學(xué)歸納法證明n=k+1的待證表達(dá)式，可以利用n=k時(shí)的表達(dá)式寫出即可．
解答：解：因?yàn)樽C明關(guān)于n的恒等式時(shí)，當(dāng)n=k時(shí)，表達(dá)式為1×4+2×7+…+k（3k+1）=k（k+1）2，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，待證表達(dá)式應(yīng)為：
1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=（k+!）（k+2）2．
故答案為：1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=（k+!）（k+2）2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：函數(shù)f(x)=-
1
6
x3+
1
2
x2+x，x∈R．
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)A(1，
4
3
)中心對(duì)稱，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x），an+1=g（an），n∈N+，且1＜a1＜2，求證：
（�。┱�(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2時(shí)，1＜an＜
3
2
；
（ⅱ）|a1-
2
|+|a2-
2
|+…+|an-
2
|＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某學(xué)生在觀察正整數(shù)的前n項(xiàng)平方和公式即12+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
，n∈N*時(shí)發(fā)現(xiàn)它的和為關(guān)于n的三次函數(shù)，于是他猜想：是否存在常數(shù)a，b，1•22+2•32+…+n（n+1）2=
n(n+1)(n+2)(an+b)
12
．對(duì)于一切n∈N*都立？
（1）若n=1，2 時(shí)猜想成立，求實(shí)數(shù)a，b的值．
（2）若該同學(xué)的猜想成立，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)歸納法證明．若不成立，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年遼寧省東北育才學(xué)校高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分12分）

關(guān)于的函數(shù)與數(shù)列具有關(guān)系：， (為常數(shù))，

(=1,2,3,…)，又已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，為方程的實(shí)根.

（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；

（II）證明：.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年遼寧省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

(本小題滿分12分)

關(guān)于的函數(shù)與數(shù)列具有關(guān)系：

,(=1,2,3,…)(為常數(shù))，又設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，為方程的實(shí)根.

（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；

（II）證明：.

 

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