Question

已知函數f（x）=x²-3x，x∈[a-

1

2

，a+

1

2

]，a∈R．設集合M={（m，f（n））|m，n∈[a-

1

2

，a+

1

2

]}，若M中的所有點圍成的平面區(qū)域面積為S，則S的最小值為

 

．

Answer 1

考點：定積分

專題：導數的概念及應用

分析：設f（n）∈[p，q]，則M中的所有點圍成的平面區(qū)域面積為S=[（a+

1

2

）-（a-

1

2

）]（q-p）=（q-p），分情況討論求出f（n）的值域，然后表示出S，即可求出S的最小值．

解答： 解：（1）當a+

1

2

≤

3

2

即a≤1時，f（x）在[a-

1

2

，a+

1

2

]上單調遞減，
f（a+

1

2

）≤f（n）≤f（a-

1

2

），即f（n）∈[a²-2a-

5

4

，a²-4a+

7

4

]，
此時，S=[（a+

1

2

）-（a-

1

2

）]（a²-4a+

7

4

-a²+2a+

5

4

）=（-2a+3）≥1，
（2）當a-

1

2

≥

3

2

即a≥2時，f（x）在[a-

1

2

，a+

1

2

]上單調遞增，
f（n）∈[a²-4a+

7

4

，a²-2a-

5

4

]
此時，S=（2a-3）≥1；
（3）當1≤a≤

3

2

時，f（n）∈[0，a²-2a-

5

4

]
此時，S=（a²-2a-

5

4

-f（

3

2

）]=（a²-2a+1）≥

1

4

；
（4）當

3

2

＜a＜2時，f（n）∈[0，a²-4a+

7

4

]
此時，S=（a²-4a+

7

4

-f（

3

2

）]=（a-2）²＞

1

4

；
綜上所述，S≥

1

4

，即S的最小值為

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點評：本題考查二次函數在閉區(qū)間上的值域的求解，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力．