Question

若函數(shù)f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c在x=1時(shí)取得極值，且當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），由函數(shù)的零點(diǎn)以及根與系數(shù)的關(guān)系求出b的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在閉區(qū)間[-1，2]上的最大值f（x）_max，令其小于c²，求出c的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c，
∴f′（x）=3x²-x+b，
∵x=1是方程3x²-x+b=0的一個(gè)根，
設(shè)另一個(gè)根是x₀，則

x0+1= 1 3 x0×1= b 3

，
∴x₀=-

2

3

，b=-2；
（2）由（1）知，f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
令f′（x）=0，解得x₁=-

2

3

，x₂=1；
列表如下：

x	[-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值 22 27 +c	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格知，f（x）取得極大值f（-

2

3

）=

22

27

+c，
又f（2）=2+c，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最大值f（x）_max=2+c；
∴2+c＜c²，
解得c＜-1或c＞2，
∴c的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，也考查了函數(shù)的零點(diǎn)以及根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用問題，是綜合題．