Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1-a

2

x²-ax-a，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（III）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]（t∈[-3，-1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t），求函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，1]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系解不等式即可；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即其圖象在（-2，0）內(nèi)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得出f（-2）、f（0）及極值符號(hào)，從而可求出a的范圍；
（Ⅲ）先求出M（t），m（t），再求出g（t），從而可求得g（t）在[-3，-1]上最小值，其間需要根據(jù)極點(diǎn)-1，1所在區(qū)間情況分類討論．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），又a＞0，
∴當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)-1＜x＜a時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞a時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-1），（a，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為：（-1，a）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，
從而函數(shù)f（x）在（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)

f(-2)＜0 f(-1)＞0 f(0)＜0

，解得0＜a＜

1

3

．
所以a的取值范圍是（0，

1

3

）．
（Ⅲ）a=1時(shí)，f（x）=

1

3

x3-x-1．由（Ⅰ）知f（x）在[-3，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增．
（1）當(dāng)t∈[-3，-2]時(shí)，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，t+3]上單調(diào)遞減，
因此，f（x）在[t，t+3]上的最大值M（t）=f（-1）=-

1

3

，而最小值m（t）為f（t）與f（t+3）中的較小者．
由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，當(dāng)t∈[-3，-2]時(shí)，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（-1）-f（t）．
而f（t）在[-3，-2]上單調(diào)遞增，因此f（t）≤f（-2）=-

5

3

．所以g（t）在[-3，-2]上的最小值為g（-2）=-

1

3

-(-

5

3

)=

4

3

．
（2）當(dāng)t∈[-2，-1]時(shí)，t+3∈[1，2]，且-1，1∈[t，t+3]．下面比較f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大�。�
由f（x）在[-2，-1]，[1，2]上單調(diào)遞增，有f（-2）≤f（t）≤f（-1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）．
又由f（1）=f（-2）=-

5

3

，f（-1）=f（2）=-

1

3

，從而M（t）=f（-1）=-

1

3

，m（t）=f（1）=-

5

3

．
所以g（t）=M（t）-m（t）=

4

3

．
綜上，函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值為

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，同時(shí)考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．