Question

（2012•靜安區(qū)一模）某市地鐵連同站臺等附屬設施全部建成后，平均每1公里需投資人民幣1億元．全部投資都從銀行貸款．從投入營運那一年開始，地鐵公司每年需歸還銀行相同數額的貸款本金0.05億元．這筆貸款本金先用地鐵營運收入支付，不足部分由市政府從公用經費中補足．地鐵投入營運后，平均每公里年營運收入（扣除日常管理費等支出后）第一年為0.0124億元，以后每年增長20%，到第20年后不再增長．求：
（1）地鐵營運幾年，當年營運收入開始超過當年歸還銀行貸款本金？
（2）截至當年營運收入超過當年歸還銀行貸款本金的那一年，市政府已累計為1公里地鐵支付多少元費用？
（精確到元，1億=1×10⁸）

Answer 1

分析：（1）根據年營運收入（扣除日常管理費等支出后）第一年為0.0124億元，以后每年增長20%，可得地鐵營運n年的收入，利用當年營運收入開始超過當年歸還銀行貸款本金，建立不等式，即可求得結論；
（2）市政府各年為1公里地鐵支付費用，第n年：0.05-0.0124×1.2^n-1，求出n年累計，將n=8代入得，即可得解．

解答：解：（1）根據年營運收入（扣除日常管理費等支出后）第一年為0.0124億元，以后每年增長20%，可得地鐵營運n年的收入a_n=0.0124×（1+0.2）^n-1，…（2分）
根據題意有：0.0124×（1+0.2）^n-1＞0.05，…（4分）
解得n≥9年．
答：地鐵營運9年，當年營運收入開始超過當年歸還銀行貸款本金．…（6分）
（2）市政府各年為1公里地鐵支付費用
第1年：0.05-0.0124；
第2年：0.05-0.0124×1.2；
…
第n年：0.05-0.0124×1.2^n-1．…（2分）
n年累計為：0.05n-[0.0124+0.0124×1.2+…+0.0124×1.2^n-1]，…（4分）
將n=8代入得，0.05×8-[0.0124+0.0124×1.2+…+0.0124×1.2⁷]=0.1954113485億．…（8分）
答：截至當年營運收入超過當年歸還銀行貸款本金的那一年，市政府累計為一公里地鐵共支付19541135元費用．（9分）

點評：本題考查等比數列模型，考查數列的求和，考查解不等式，解題的關鍵是確定數列的模型，屬于中檔題．