Question

【選修4-5：不等式選講】
已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：

1

2a+1

+

4

2b+1

≥

9

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)（2a+1）+（2b+1）=4，2a+1＞0，2b+1＞0則

1

2a+1

+

4

2b+1

=

1

4

[（2a+1）+（2b+1）]×（

1

2a+1

+

4

2b+1

），然后利用基本不等式可證明不等式．

解答：解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴（2a+1）+（2b+1）=4，2a+1＞0，2b+1＞0
則

1

2a+1

+

4

2b+1

=

1

4

[（2a+1）+（2b+1）]×（

1

2a+1

+

4

2b+1

）
=

1

4

[1+4+

2b+1

2a+1

+

4(2a+1)

2b+1

]
≥

1

4

（5+2

2b+1 2a+1 × 4(2a+1) 2b+1

）=

9

4

當(dāng)且僅當(dāng)

2b+1

2a+1

=

4(2a+1)

2b+1

，且a+b=1即a=

1

6

，b=

5

6

時(shí)取等號(hào)
∴

1

2a+1

+

4

2b+1

≥

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式的證明，以及基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵

1

4

[（2a+1）+（2b+1）]=1的運(yùn)用，屬于中檔題．