Question

5．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3b}{2}$．
（1）求證：a+c=2b；
（2）求∠B的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角的余弦公式、余弦定理化簡已知的式子，即可得到結(jié)論：a+c=2b；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和余弦定理求出cosB的代數(shù)式，利用重要不等式、內(nèi)角的范圍、余弦函數(shù)的性質(zhì)求出∠B的取值范圍．

解答 證明：（1）由題意得，acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3b}{2}$，
則a$•\frac{1}{2}$（1+cosC）+c$•\frac{1}{2}$（1+cosA）=$\frac{3b}{2}$，
由余弦定理得，a$•\frac{1}{2}$（1+$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$）+c$•\frac{1}{2}$（1+$\frac{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}{2bc}$）=$\frac{3b}{2}$，
則a+$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2b}$+c+$\frac{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}{2b}$=3b，
所以2ab+2bc=4b²，
則a+c=2b；
（2）由（1）得，a+c=2b，則b=$\frac{a+c}{2}$，
所以cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{（\frac{a+c}{2}）}^{2}}{2ac}$
=$\frac{{3a}^{2}+3{c}^{2}-2ac}{8ac}$≥$\frac{6ac-2ac}{8ac}$=$\frac{1}{2}$（當且僅當a=c時取等號），
因為0＜B＜π，所以0＜B≤$\frac{π}{3}$，
所以∠B的取值范圍是（0，$\frac{π}{3}$]．

點評 本題考查余弦定理，二倍角的余弦公式，余弦函數(shù)的性質(zhì)，以及重要不等式求最值的應(yīng)用，屬于中檔題．