Question

14．已知函數f（x）=5^x-1，x∈[0，1]和函數g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，若對于任意的x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則實數a的取值范圍為a≥$\frac{5}{2}$或a≤-$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根若對于任意的x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函數f（x）在[0，1]上值域是g（x）在[-2，2]上值域的子集，然后利用求函數值域之間的關系列出不等式，解此不等式組即可求得實數a的取值范圍即可．

解答 解：∵f（x）=5^x-1，x∈[0，1]，
∴f（0）≤f（x）≤f（1），
即0≤f（x）≤4，即函數f（x）的值域為B=[0，4]，
若若對于任意的x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
則函數f（x）在[0，1]上值域A是g（x）在[-2，2]上值域A的子集，
即B⊆A
①若a=0，g（x）=-1，此時A={-1}，不滿足條件．
②當a＞0時，g（x）=ax-1在[-2，2]是增函數，g（x）∈[-2a-1，2a-1]，即A=[-2a-1，2a-1]，
則 $[0，4]⊆[-2a-1，2a-1]∴\left\{\begin{array}{l}{-2a-1≤0}\\{2a-1≥4}\end{array}$，
∴$a≥\frac{5}{2}$
③a＜0，g（x）=ax-1在[-2，2]是減函數，g（x）∈[2a-1，-2a-1]，
即A=[-2a-1，2a-1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-1≤0}\\{-2a-1≥4}\end{array}$，
∴$a≤-\frac{5}{2}$
綜上，實數a的取值范圍是a≥$\frac{5}{2}$或a≤-$\frac{5}{2}$．
故答案為：a≥$\frac{5}{2}$或a≤-$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查了函數恒成立問題，以及函數的值域，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．