Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)得出f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，利用出最大、最小值列方程組求出a、b的值；
（2）根據(jù)不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，轉(zhuǎn)化為k≤2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2，設(shè)g（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2，x∈[-1，1]；求出g（x）的最大值即得k的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）的圖象是拋物線，
開口向上，對稱軸為x=1；
∴f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，
其最大值為f（3）=9a-6a+1+b=4，
最小值為f（2）=4a-4a+1+b=1，
解得a=1，b=0；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）=x²-2x+1，
不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，
化為2^2x-2•2^x+1-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解；
變形為k≤2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2，
設(shè)g（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2，x∈[-1，1]；
則g（x）≥2•$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$-2=0，當且僅當x=0時“=”成立；
又g（x）≤g（1）=g（-1）=$\frac{1}{2}$，
∴0≤g（x）≤$\frac{1}{2}$；
∴不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解時，k的取值范圍是k≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了不等式在某一區(qū)間上有解的問題，是中檔題．