在平面直角坐標(biāo)系中，點為動點，、分別為橢圓的左、右焦點．已知為等腰三角形.

（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡
方程.

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）先利用平面向量的數(shù)量積確定為鈍角，從而得到當(dāng)時，必有，根據(jù)兩點間的距離公式列有關(guān)、、的方程，求出與之間的等量關(guān)系，從而求出離心率的值；（2）先求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出交點、的坐標(biāo)，利用以及、、三點共線列方程組消去，從而得出點的軌跡方程.
試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，，，
，，
，所以為鈍角，
由于為等腰三角形，，，即，
即，整理得，即，
由于，故有，即橢圓的離心率為；
（2）易知點的坐標(biāo)為，則直線的斜率為，
故直線的方程為，由于，，
故橢圓的方程為，即，
將直線的方程代入橢圓方程并化簡得，解得或，
于是得到點，，
（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，由于點在直線上，所以，
，
，
，
即，
整理得，即點的軌跡方程為.
考點：1.橢圓的方程；2.兩點間的距離；3.平面向量的數(shù)量積；4.動點的軌跡方程

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓的左、右焦點，右焦點到上頂點的距離為2，若.
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于、兩點（在第一象限內(nèi)），又、是此橢圓上兩點，并且滿足，求證：向量與共線.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點到拋物線準(zhǔn)線的距離為．

（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)的角平分線垂直軸時，求直線的斜率；
（Ⅲ）若直線在軸上的截距為，求的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知三點P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）。
（1）求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點P、F1、F2關(guān)于直線y＝x的對稱點分別為，求以為焦點且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過點、.記其上頂點為，右頂點為.
（1）求圓心在線段上，且與坐標(biāo)軸相切于橢圓焦點的圓的方程；
（2）在橢圓位于第一象限的弧上求一點，使的面積最大.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為.從這個圓上任意一點向軸作垂線，為垂足.
（Ⅰ）求線段中點的軌跡方程；
（Ⅱ）已知直線與的軌跡相交于兩點，求的面積

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，過點的直線與橢圓交于不同的兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是拋物線上的點，是的焦點， 以為直徑的圓與軸的另一個交點為.
（Ⅰ）求與的方程；
（Ⅱ）過點且斜率大于零的直線與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，的面積為，證明：直線與圓相切.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點，是拋物線上相異兩點，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經(jīng)過點，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點，求的面積的最大值及此時直線的方程．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案