已知點(diǎn),
是拋物線
上相異兩點(diǎn),且滿足
.
(Ⅰ)若的中垂線經(jīng)過點(diǎn)
,求直線
的方程;
(Ⅱ)若的中垂線交
軸于點(diǎn)
,求
的面積的最大值及此時直線
的方程.
(Ⅰ)(Ⅱ)
.
解析試題分析:(Ⅰ) 利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性,進(jìn)而求最值;(Ⅱ)利用不等式的放縮和數(shù)列的裂項(xiàng)求和
試題解析:(I)方法一
(I)當(dāng)垂直于
軸時,顯然不符合題意,
所以可設(shè)直線的方程為
,代入方程
得:
∴ 得:
2分
∴直線的方程為
∵中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,∴
中點(diǎn)的坐標(biāo)為
4分
∴的中垂線方程為
∵的中垂線經(jīng)過點(diǎn)
,故
,得
6分
∴直線的方程為
7分
(Ⅱ)由(I)可知的中垂線方程為
,∴
點(diǎn)的坐標(biāo)為
8分
因?yàn)橹本的方程為
∴到直線
的距離
10分
由 得,
,
12分
∴, 設(shè)
,則
,
,
,由
,得
在
上遞增,在
上遞減,當(dāng)
時,
有最大值
得:時,
直線方程為
15分
(本題若運(yùn)用基本不等式解決,也同樣給分)
法二:
(Ⅰ)當(dāng)垂直于
軸時,顯然不符合題意,
當(dāng)不垂直于
軸時,根據(jù)題意設(shè)
的中點(diǎn)為
,
則 2分
由、
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)
為動點(diǎn),
、
分別為橢圓
的左、右焦點(diǎn).已知
為等腰三角形.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于
、
兩點(diǎn),
是直線
上的點(diǎn),滿足
,求點(diǎn)
的軌跡
方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),是它的兩個頂點(diǎn),直線
與直線
相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于
兩點(diǎn).
(Ⅰ)若,求
的值;
(Ⅱ)求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓長軸的左右端點(diǎn)分別為A,B,短軸的上端點(diǎn)為M,O為橢圓的中心,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),且·
=1,|
|=1.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),問:是否存在直線l,使得點(diǎn)F恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
經(jīng)過點(diǎn)且與直線
相切的動圓的圓心軌跡為
.點(diǎn)
在軌跡
上,且關(guān)于
軸對稱,過線段
(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線
,使直線
與軌跡
在點(diǎn)
處的切線平行,設(shè)直線
與軌跡
交于點(diǎn)
.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線
的距離等于
,且
的面積為20,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,焦距為
,且經(jīng)過點(diǎn)
,直線
交橢圓于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求的取值范圍;,
(2)若直線不經(jīng)過點(diǎn)
,求證:直線
的斜率互為相反數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,橢圓C過點(diǎn),兩個焦點(diǎn)為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是橢圓C上的兩個動點(diǎn),如果直線
的斜率與
的斜率互為相反數(shù),證明直線
的斜率為定值,并求出這個定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為
,離心率
.過該橢圓上任一點(diǎn)
作
軸,垂足為
,點(diǎn)
在
的延長線上,且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)求動點(diǎn)的軌跡
的方程;
(3)設(shè)直線(
點(diǎn)不同于
)與直線
交于點(diǎn)
,
為線段
的中點(diǎn),試判斷直線
與曲線
的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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