Question

已知函數(shù)f₁（x）=lg|x-p₁|，f₂（x）=lg（|x-p₂|+2）（x∈R，p₁，p₂為常數(shù)）
函數(shù)f（x）定義為對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x（x≠p₁），f(x)=

f1(x) f1(x)≤f2(x) f2(x) f2(x)≤f1(x)

（1）當(dāng)p₁=2時(shí)，求證：y=f₁（x）圖象關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)；
（2）求f（x）=f₁（x）對(duì)所有實(shí)數(shù)x（x≠p₁）均成立的條件（用p₁、p₂表示）；
（3）設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足a＜b，且p₁，p₂∈（a，b），若f（a）=f（b）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為

b-a

2

．（區(qū)間[m，n]、（m，n）或（m，n]的長(zhǎng)度均定義為n-m）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)p₁=2時(shí)f₁（x）=lg|x-2|，證出f₁（2+x）=f₁（2-x）即可（命題出發(fā)點(diǎn)是因?yàn)閨x-2|具有對(duì)稱(chēng)性）
（2）問(wèn)題即為?x∈R，lg|x-p₁|≤lg（|x-p₂|+2），進(jìn)一步得出|x-p₁|-|x-p₂|≤2，利用絕對(duì)值的幾何意義得出|x-p₁|-|x-p₂|的最大值為|p₁-p₂|，所以p₁，p₂滿足|p₁-p₂|≤2
（3）對(duì)|p₁-p₂|與2的大小關(guān)系分類(lèi)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)綜合分析證明．

解答：解：（1）當(dāng)p₁=2時(shí)f₁（x）=lg|x-2|，∴f₁（2+x）=lg|2+x-2|=lg|x|，f₁（2-x）=lg|2-x-2|=lg|-x|∴f₁（2+x）=f₂（2-x），所以對(duì)稱(chēng)軸為x=2
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)f（x）=f₁（x），∴?x∈R，f₁（x）≤f₂（x）均成立
即lg|x-p₁|≤lg（|x-p₂|+2），由對(duì)數(shù)的單調(diào)性可知|x-p₁|≤|x-p₂|+2均成立，∴|x-p₁|-|x-p₂|≤2，又∵|x-p₁|-|x-p₂|的最大值為|p₁-p₂|
所以p₁，p₂滿足|p₁-p₂|≤2
（3）①當(dāng)|p₁-p₂|≤2時(shí)，由（2）可知f（x）=f₁（x）=lg|x-p₁|
由（1）可知函數(shù)f（x）=f₁（x）關(guān)于x=p₁對(duì)稱(chēng)，由f（a）=f（b），可知p1=

a+b

2

而f1(x)=

lg(x-p1)(x＞p1) lg(p1-x)(x＜p1)

由單調(diào)性可知，單調(diào)增區(qū)間長(zhǎng)度為b-

a+b

2

=

b-a

2

②當(dāng)|p₁-p₂|＞2時(shí)，不妨設(shè)a＜p₁＜p₂＜b，即p₂-p₁＞2，
當(dāng)x＜p₁時(shí)，f₁（x）=lg（p₁-x）＜lg（p₂-x）＜f₂（x），所以f（x）=f₁（x）
當(dāng)x＞p₂時(shí)，f₁（x）=lg（x-p₁）=lg（x-p₂-+p₂-p₁）＞f₂（x），所以f（x）=f₂（x）
當(dāng)p1＜x＜p2時(shí)，y=f₁（x）與y=f₂（x）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0=

p1+p2

2

+1
由（1）知f（x）=

f1(x)a≤x≤x0(x≠p1) f2(x)x0＜x≤b

故由y=f₁（x）與y=f₂（x）單調(diào)性可知，增區(qū)間長(zhǎng)度之和為（x₀-p₁）+（b-p₂），由于f（a）=f（b），得p₁+p₂=a+b+2
所以(x0-p1)+(b-p2)=b-

p1+p2

2

+1=

b-a

2

．
當(dāng)p₁＞p₂時(shí)，同理可證增區(qū)間長(zhǎng)度之和仍為

b-a

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的意義，函數(shù)性質(zhì)的證明及應(yīng)用．考查邏輯思維、推理論證、化簡(jiǎn)計(jì)算等能力．