Question

4．已知直線l₁∥l₂，A是l₁，l₂之間的一定點(diǎn)，并且A點(diǎn)到l₁，l₂的距離分別為1，2，B是直線l₂上一動點(diǎn)，∠BAC=90°，AC與直線l₁交于點(diǎn)C，則△ABC面積的最小值為2．

Answer 1

分析 過A作l₁、l₂的垂線，分別交l₁、l₂于E、F，則AE=1，AF=2，設(shè)∠FAC=θ，則AC=$\frac{1}{cosθ}$，AB=$\frac{2}{sinθ}$，推導(dǎo)出△ABC面積為S=$\frac{2}{sin2θ}$，由此能求出△ABC面積的最小值．

解答 解：過A作l₁、l₂的垂線，分別交l₁、l₂于E、F，
則AE=1，AF=2，
設(shè)∠FAC=θ，則Rt△ACF中，AC=$\frac{1}{cosθ}$，
Rt△ABE中，∠ABE=θ，
可得AB=$\frac{2}{sinθ}$，
∴△ABC面積為S=$\frac{1}{2}$×AB×AC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{cos}×\frac{2}{sinθ}$=$\frac{2}{sin2θ}$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴當(dāng)且僅當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時，sin2θ=1達(dá)到最大值1，
此時△ABC面積有最小值2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查三角形面積的最小值的求法，考查三角函數(shù)、二面角公式、三角形面積等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．