Question

19．已知函數(shù)數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，若已知函數(shù)數(shù)f（x₁）=f（x₂），且x₁，x₂∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{6}$]，x₁≠x₂，則f（x₁+x₂）=（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． -$\sqrt{3}$
• D． -2

Answer 1

分析 由圖知A=2，易求T=π，ω=2，由f（$\frac{π}{12}$）=2，|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求得φ=$\frac{π}{3}$，從而可得函數(shù)y=f（x）的解析式，由三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得x₁+x₂=$\frac{3π}{2}×2$=3π．繼而得f（x₁+x₂）的值．

解答 解：由圖象可得A=2，$\frac{3}{4}$T=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{3π}{4}$，
∴T=π，ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+φ），
又f（$\frac{π}{12}$）=2，
∴sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=1，
∴$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵函數(shù)數(shù)f（x₁）=f（x₂），且x₁，x₂∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{6}$]，x₁≠x₂，
∴結(jié)合三角函數(shù)圖象可得：x₁+x₂=$\frac{3π}{2}×2$=3π，
∴f（x₁+x₂）=2sin（2×3π+$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題．